题目内容
【题目】已知数列的前
项的和为
,记
.
(1)若是首项为
,公差为
的等差数列,其中
,
均为正数.
①当,
,
成等差数列时,求
的值;
②求证:存在唯一的正整数,使得
.
(2)设数列是公比为
的等比数列,若存在
,
(
,
,
)使得
,求
的值.
【答案】(1)①②见解析(2)
【解析】
先写出
的表达式.
写出
,
,
,列出等式求解.
等价于
,
是一个固定的数,当
时,区间
互不相交,且并集为
,所以n存在且唯一.
先将等式化成基本量表示的形式,有
,设出函数
,当
时,
,又
,从而找出r,t的值,再解出q.
(1)①因为,
,
成等差数列,
所以,即
,
解得,.
②由,得
,
整理得,解得
,
由于且
.
因此存在唯一的正整数,使得
.
(2)因为,所以
.
设,
,
.
则,
因为,
,所以
,
所以,即
,即
单调递增.
所以当时,
,
则,即
,这与
互相矛盾.
所以,即
.
若,则
,
即,与
相矛盾.
于是,所以
,即
.
又,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在
上为增函数,则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数,若
且
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)已知,
且
的部分函数值由下表给出,
求证:;
(Ⅲ)定义集合
请问:是否存在常数,使得
,
,有
成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,说明理由.
【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份
之间的相关关系.请用最小二乘法求
关于
的线性回归方程
,并预测6月份该商场空调的销售量;
(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据:线性回归方程,其中
,
.