Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=2x-3
（1）证明：f（x）＞g（x）；
（2）证明：（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e^2×2014-3．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）构造函数F（x）=f（x）-g（x），利用导数求出函数的最小值为3-e，问题得证．
（2）由题意得得lnx＞

2x-3

x

=2-

3

x

，令x=1+n（n+1），利用放缩法加以证明．

解答： 证明：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=xlnx-2x+3，（x＞0）
∴F'（x）=lnx+1-2=lnx-1，
令F'（x）=0，解得x=e，
∴x∈（0，e），F'（x）＜0，
x∈（e，+∞），F'（x）＞0，
∴当x=e时函数F（x）有最小值，即为F（e）=elne-2e+3=3-e＞0，
故f（x）＞g（x）．
（2）由（1）xlnx＞2x-3，
得lnx＞

2x-3

x

=2-

3

x

，
令x=1+n（n+1），
故ln[1+n(n+1)]＞2-

3

1+n(n+1)

＞2-

3

n(n+1)

，
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln(1+2014×2015)＞2×2014-3[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2014×2015

]=2×2014-3[1-

1

2015

]＞2×2014-3
即ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）]＞2×2014-3
则（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e^2×2014-3成立．   
故问题得以证明．

点评：本题主要考查了导数以函数的最值的关系，以及利用放缩法证明不等式成立的问题，属于中档题．