Question

已知直线m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0．
（1）求证直线m过定点M；
（2）过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程．

Answer 1

考点：恒过定点的直线,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）按照字母a集项，利用直线系方程，解方程组求出定点，说明直线m过定点M；
（2）设出截距式方程，利用过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，得到方程组，即可求直线n的方程．

解答： 解：（1）方程m：（a+2）x+（1-2a）y+4-3a=0可化为a（x-2y-3）+（2x+y+4）=0，
要使a有无穷多个解，必须有

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，得

x=-1 y=-2

．
无论a取何值，（-1，-2）都满足方程，故直线m过定点M（-1，-2）．
（2）设直线n：

x

a

+

y

b

=1，
则

-1 a + -2 b =1 1 2 ab=4

，解得

a=-2 b=-4

，故直线n：

x

-2

+

y

-4

=1，
所以当直线n为2x+y+4=0时，三角形的面积为4．

点评：本题考查直线方程的应用，截距式方程的应用，基本知识的考查．