题目内容
若抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有 个．
考点：抛物线的简单性质
专题：
分析：根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，则圆的方程可得，把M，F点的坐标代入整理求得h，和g，则圆的方程可求．
解答：
解：抛物线y2=4x的参数p=2，所以F（1，0），准线l：x=-1，即x+1=0，
设经过点M（4，4）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（a，b），
则半径为Q到l的距离为即1+a，
∴圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=（1+a）2；
将M、F的坐标代入，（4-a）2+（4-b）2=（1+a）2①，
（1-a）2+b2=（1+a）2②，
由①②得：b2-8b+1=10a，③b2=4a，④
由③④得：3b2+16b-2=0，
解得b1=
，b2=
．
将b1，b2分别代入④得：a1=
，a2=
．
故圆的个数为2个．
故答案为：2．
设经过点M（4，4）、F（1，0），且与直线l相切的圆的圆心为Q（a，b），
则半径为Q到l的距离为即1+a，
∴圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=（1+a）2；
将M、F的坐标代入，（4-a）2+（4-b）2=（1+a）2①，
（1-a）2+b2=（1+a）2②，
由①②得：b2-8b+1=10a，③b2=4a，④
由③④得：3b2+16b-2=0，
解得b1=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
将b1，b2分别代入④得：a1=
67-8
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| 18 |
67+8
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| 18 |
故圆的个数为2个．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和圆的标准方程．考查了运用待定系数法求圆的方程以及圆与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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