题目内容

5．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F
（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．

分析 （1）由ABCD为矩形，得BC⊥AB有PA⊥平面ABCD可知BC⊥平面PAB，从而AE⊥BC，可证AE⊥PC，由AF⊥PC，AE∩AF=A，从而证明PC⊥面AEF；
（2）由ABCD为矩形，可证CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，可知PC⊥AG，从而AG⊥平面PCD，可证AG⊥PD．

解答 解：（1）∵ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA
∴BC⊥平面PAB
∴AE⊥BC
又AE⊥PB
∴AE⊥平面PBC
∴AE⊥PC
又AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF；
（2）∵ABCD为矩形
∴CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AG
∵PC⊥平面AEF
∴PC⊥AG
∴AG⊥平面PCD
∴AG⊥PD

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．

练习册系列答案
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16．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和BB1的中点，则异面直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）
A．0B．$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D．$\frac{1}{9}$
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A．$\frac{1}{9}$B．$\frac{1}{6}$C．$\frac{1}{3}$D．1
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（注：表为随机数表的第8行和第9行）
A．02B．13C．42D．44
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A．-2B．2C．1D．0
15．直线mx+$\frac{n}{2}$y-1=0在y轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0的倾斜角的2倍，则（　　）
A．m=-$\sqrt{3}$，n=-2B．m=$\sqrt{3}$，n=2C．m=$\sqrt{3}$，n=-2D．m=-$\sqrt{3}$，n=2

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