Question

20．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明；
（2）若a=1，求f（-5）+f（-3）+f（-1）+f（1）+f（3）+f（5）的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出函数的单调性，再利用函数的单调性的定义进行证明即可；
（2）求出f（-x）+f（x）=0，求出函数值即可．

解答 （1）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，证明如下：
设任意的x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，则 $\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）a=1时，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
而f（x）+f（-x）=0，
故f（-5）+f（-3）+f（-1）+f（1）+f（3）+f（5）=0．

点评 本题主要考查函数的单调性的证明方法：定义法，以及利用函数单调性求函数值问题，属于中档题．