Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为CC₁和BB₁的中点，则异面直线AE与D₁F所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与D₁F所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D₁（0，0，2），F（2，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（2，2，-1），
设直线AE与D₁F所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{-4+4-1}{\sqrt{4+4+1}•\sqrt{4+4+1}}$|=$\frac{1}{9}$．
∴直线AE与D₁F所成角的余弦值为$\frac{1}{9}$．
故选D．

点评 本题考查两异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．