Question

14．若函数y=f（x）的图象上存在两个点A，B，且关于原点对称，则称点对[A，B]为函数y=f（x）的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 求出函数关于原点对称的函数，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由两个“友情点对”，转化为x＜0时，函数的极大值为2，即可得出结论．

解答 解：由题意，x≥0，f（x）=-x³+6x²-9x+a，关于原点对称的函数为f（x）=-x³-6x²-9x-a（x＜0），
∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2，x＜0\\-{x^3}+6{x^2}-9x+a，x≥0\end{array}\right.$恰好由两个“友情点对”，
∴x＜0时，函数的极大值为2，
f′（x）=-3（x+3）（x+1），函数在（-∞，-3），（-1，0）单调递减，（-3，-1）单调递增，
∴x=-1时取得极大值，即1-6+9-a=2，∴a=2，
故选B．

点评 本题主要考查新定义题目，读懂题意，确定x＜0时，函数的极大值为2是解决本题的关键．