Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）分离参数，再构造函数g(x)=

lnx

x

，求出g（x）_max的即可．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-2x，∴f′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

令f'（x）=0，则x=

1

2

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	正	0	负
f（x）	递增	极大值	递减

所以f（x）=lnx-2x在(0，

1

2

)上单调递增，在(

1

2

，+∞)上单调递减．
（2）f（x）=lnx-ax≤0，∵x＞0，∴a≥

lnx

x

令g(x)=

lnx

x

，则a≥g（x）_max
g′(x)=

1-lnx

x2

=0时，x=e

x	（0，e）	e	（e，+∞）
g'（x）	正	0	负
g（x）	递增	极大值	递减

所以g(x)max=g(e)=

1

e

，即a≥

1

e

故实数a的取值范围为（

1

e

，+∞）

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．对于恒成立的问题，分离参数，利用函数的最值，属于中档题．