Question

已知不等式x²-5mx+4m²≤0的解集为A，不等式ax²-x-1+3a＜0的解集为B．
（1）求A．
（2）若当m=1时，A∩B≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式x²-5mx+4m²≤0可化为（x-m）（x-4m）≤0．对m分类讨论：m＞0，m=0，m＜0．即可得出．
（2）当m=1时，A=[1，4]．由于A∩B≠∅，因此当x∈[1，4]时，不等式ax²-x-1+3a＜0有解．分离参数可得a＜

x+1

x2+3

=f（x）（x∈[1，4]），可知：a＜f（x）_max．利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：（1）不等式x²-5mx+4m²≤0可化为（x-m）（x-4m）≤0．
当m＞0时，A=[m，4m]；当m=0时，A={0}；当m＜0时，A=[4m，m]．
（2）当m=1时，A=[1，4]．
∵A∩B≠∅，∴当x∈[1，4]时，不等式ax²-x-1+3a＜0有解．
∴a＜

x+1

x2+3

=f（x）（x∈[1，4]），
则f′（x）=

(x2+3)-2x(x+1)

(x2+3)2

=

-(x+3)(x-1)

(x2+3)2

≤0，
∴函数f（x）在[1，4]上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值

1

2

，∴a＜

1

2

．
∴a的取值范围是(-∞，

1

2

)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合运算、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法和分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．