Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（1，

3

2

），它的一个焦点是F（-1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）P，Q是椭圆C上的两个动点，如果直线AP的倾斜角与AQ的倾斜角互补，证明：直线PQ定向（即该直线的斜率为定值）．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）方程组

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

得出椭圆的方程．
（2）化简得出（3+4k²）x²-8k(k-

3

2

)x-4k²-12k-3=0，韦达定理求解即可．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（1，

3

2

），它的一个焦点是F（-1，0）．
∴

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，
a²=4，b²=3，
椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意可知直线AP，AQ斜率均存在，且互为相反数，
设直线AP的方程为：y-

3

2

=k（x-1）代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1．化简得
（3+4k²）x²-8k(k-

3

2

)x-4k²-12k-3=0，其一根为1，
由韦达定理可得：x_p=

4k2-12k-3

3+4k2

，y_p=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

用-k代入x_Q=

4k2+12k-3

3+4k2

，y_p=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

，
k_PQ=

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，方程的思想，属于难题，关键是仔细计算，求解．