Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)， (ω＞0，A＞0，φ∈(0，

π

2

))．
的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知α∈(

π

2

，π)且sinα=

5

13

，求f(

α

2

)．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的化简求值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，φ∈（0，

π

2

），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式；
（2）易求cosα=-

12

13

，利用两角和的正弦即可求得f（

α

2

）=2sin（α+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）由函数最大值为2，得A=2．
由图可得周期T=4[

π

12

-（-

π

6

）]=π，
∴ω=

2π

π

=2．             
又2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，又φ∈（0，

π

2

），
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）∵α∈（

π

2

，π），且sinα=

5

13

，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

12

13

，
∴f（

α

2

）=2sin（2•

α

2

+

π

3

）
=2（sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

）
=2[

5

13

×

1

2

+（-

12

13

）×

3

2

]
=

5-12 3

13

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题．