题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
| 4x+2x+1+a |
| 2x |
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可求出a的值．
（2）根据f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，利用导数 即可求实数a的取值范围．
（2）根据f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，利用导数 即可求实数a的取值范围．
解答：
解：（1）∵f（x）=
=2x+2+
=2x+2+a?2-x，
∴若f（x）是偶函数，
则f（-x）=f（x），
即2-x+2+a?2x=2x+2+a?2-x，
∴（a-1）（2x-2-x）=0，
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵f（x）=
=2x+2+a?2-x，
∴f'（x）=2xln?2-a?2-xln?2，
若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则f'（x）=2xln?2-a?2-xln?2≥0恒成立，
即a≤
=4x在[0，+∞）上恒成立，
∵在[0，+∞）上，4x≥1，
∴a≤1，
即实数a的取值范围a≤1．
| 4x+2x+1+a |
| 2x |
| a |
| 2x |
∴若f（x）是偶函数，
则f（-x）=f（x），
即2-x+2+a?2x=2x+2+a?2-x，
∴（a-1）（2x-2-x）=0，
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵f（x）=
| 4x+2x+1+a |
| 2x |
∴f'（x）=2xln?2-a?2-xln?2，
若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则f'（x）=2xln?2-a?2-xln?2≥0恒成立，
即a≤
| 2x |
| 2-x |
∵在[0，+∞）上，4x≥1，
∴a≤1，
即实数a的取值范围a≤1．
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用导数将单调性问题转化为不等式恒成立是解决本题的关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
P：|x-2|≥1，Q：x2-3x+2≥0，则“Q”是“P”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条 |
已知函数