Question

设正项数列{a_n}为等比数列，它的前n项和为S_n，a₁=1，且a₁+S₂=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知{

bn

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知条件结合（Ⅰ）得到bn=(2n-1)•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设在等比数列{a_n}中，公比为q，
∵a₁=1，a₁+S₂=a₃，∴2a₁+a₂=a₃，
∴2a1+a1q=a1q2，
即2+q=q²，…（2分）
解得q=2或q=-1（舍）…（4分）
所以an=2n-1…（6分）
（Ⅱ）∵{

bn

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

bn

an

=2n-1，
∵an=2n-1，
∴bn=(2n-1)•2n-1．…（7分）
∵T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
∴Tn=1•1+3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1①…（9分）
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n②…（10分）
②-①，得Tn=-1-2•[2+22+…+2n-1]+(2n-1)•2n
=-1+4（1-2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ
=（2n-3）•2ⁿ+3…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．