Question

双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与双曲线C₂：

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）的离心率分别为e₁和e₂，则

1

e1

+

1

e2

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的方程求出离心率，然后化简

1

e1

+

1

e2

求解即可．

解答： 解：双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与双曲线C₂：

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞0，b＞0）的离心率分别为e₁和e₂，
∴e₁=

a2+b2

a

＞1，e₂=

a2+b2

b

＞1.0＜

1

e1

＜1，0＜

1

e2

＜1
∴0＜

1

e1

+

1

e2

=

a+b

a2+b2

=

a2+b2+2ab a2+b2

≤

2

．当且仅当a=b时取等号．
∴

1

e1

+

1

e2

的取值范围（0，

2

]．
故答案为：（0，

2

]．

点评：本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．