Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别是 F₁，F₂，斜率为k的直线l过左焦点F₁且与椭圆的交点分别为A、B，与y轴交点为C，又B为线段CF₁的中点，若|k|≤

14

2

，求椭圆离心率e的取值范围

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出B点坐标，代入椭圆方程得到：

c2

4a2

+

k2c2

4b2

=1，结合a²=b²+c²，e=

c

a

得到方程

4

e2

+e²-5≤

7

2

，解出即可．

解答： 解：过F₁（-c，0），设y=k（x+c）（k≠0），将x=0代入，y=kc，所以C（0，kc），
B是F₁C中点，B（-

c

2

，

kc

2

），B在椭圆上，将B代入椭圆方程，
得：

c2

4a2

+

k2c2

4b2

=1，
∴b²c²+k² a² c²=4a² b²，
∴（a²-c²）c²+k² a² c²=4a² （a²-c²），
∴k² a² c²=4a⁴+c⁴-5a² c²，
∴k²=

4a4+c4-5a2c2

a2c2

，且e=

c

a

，
∴k²=

4

e2

+e²-5，又∵k²≤

7

2

，
∴

4

e2

+e²-5≤

7

2

，解得：

2

2

≤e＜1，
故答案为：[

2

2

，1）．

点评：本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，考查了方程问题，是一道中档题．