Question

19．已知双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的离心率为$\frac{m}{2}$，且抛物线y²=mx的焦点为F，点P（3，y₀）（y₀＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 依题意，可求得双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率e=2，于是知m=4，从而可求抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，继而可得点M的横坐标为2，从而得到答案．

解答 解：∵双曲线${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{1+3}}{1}$=$\frac{m}{2}$，
∴m=4，
∴抛物线y²=mx=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1；
又点P（3，y₀）在此抛物线上，M为线段PF的中点，
∴点M的横坐标为：$\frac{1+3}{2}=2$，
∴点M到该抛物线的准线的距离d=2-（-1）=3，
故选：A．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查双曲线的离心率，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．