Question

14．随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便．郭叔一家计划在8月11日至8月20日暑假期间游览上海Disney主题公园．通过上网搜索旅游局的统计数据，该Disney主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%-60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．郭叔预计随机的在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．

（Ⅰ）求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（直接写出结论不要求证明，计算）

Answer 1

分析 （I）设A_i表示第i天开始游览公园，则连续两天拥挤的概率为P（A₄）+P（A₇）；
（II）根据图表计算各种情况的可能性，得出分布列；
（III）当连续三天的舒服度相差最大时，方差最大．

解答 解：设A_i表示事件“郭叔8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．
根据题意，$P（{A_i}）=\frac{1}{9}$
（Ⅰ）设B为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤”，则B=A₄∪A₇
所以$P（B）=P（{A_4}∪{A_7}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，
$P（X=0）=P（{A_4}∪{A_7}∪{A_8}）=P（{A_4}）+P（{A_7}）+P（{A_8}）=\frac{1}{3}$，
$P（X=1）=P（{A_3}∪{A_5}∪{A_6}∪{A_9}）=P（{A_3}）+P（{A_5}）+P（{A_6}）+P（{A_9}）=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=P（{A_1}∪{A_2}）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{2}{9}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

故X的期望$EX=0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$．
（Ⅲ）有图可知，8月12，8月13，8月14连续三天游览舒适度的方差最大．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．