Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）满足f（0）=-1，方程f（x）=x-1只有一个根，且f（-

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+x）=f（-

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-x）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使函数g（x）=log 

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（f（a））^x在（-∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据二次函数的性质建立方程条件即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）满足f（0）=-1，
∴f（0）=c=-1，
∵f（-

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+x）=f（-

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-x），
∴函数关于x=-

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对称，
则x=-

b

2a

=-

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，即a=b，
则f（x）=ax²+ax-1，
则f（x）=x-1，即ax²+ax-1=x-1，
则ax²+（a-1）x=0，
∵f（x）=x-1只有一个根，
∴△=（a-1）²-0=0，
解得a=1，则b=1，
即函数f（x）的解析式为f（x）=x²+x-1；
（2）若存在实数a，使函数g（x）=log 

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（f（a））^x在（-∞，+∞）上为减函数，
则根据复合函数单调性之间的关系可知函数y=f（a）^x在（-∞，+∞）上为增函数，
即f（a）=a²+a-1＞1，即a²+a-2＞0；
解得a＞1或a＜-2，
即当a＞1或a＜-2时，函数g（x）=log 

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[（f（a）]^x在（-∞，+∞）上为减函数．

点评：本题主要考查二次函数解析式的求解以及复合函数单调性的判断，综合性较强．