Question

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集为{x|-3＜x＜2}，求m的值．
（Ⅲ）若f（1）=2，求f（2014）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义进行判定即可；
（Ⅱ）利用函数单调性去掉“f“，然后根据解集可求出m的值；
（Ⅲ）令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，然后利用累加法可求出所求．

解答： （Ⅰ）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．
（Ⅱ）解：f（x²-ax+5a）＜f（m）．由（1）得x²-ax+5a＜m，即x²-ax+5a-m＜0．
∵不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-m=0的两根为-3和2，
于是

-3+2=a -3×2=5a-b

，解得

a=-1 m=1

，
（Ⅲ）解：若f（1）=2，在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1，
所以累加可得，f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2014）=2015．

点评：本题主要考查了抽象函数的应用，以及一元二次不等式的求解，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．