Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

12

=1内一点A（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点P，求|PA|+2|PF|的最小值及取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的a，b，c，以及离心率e，右准线方程，再由椭圆的第二定义，可得|PF|=ed=

1

2

d，则|PA|+2|PF|=|PA|+d，过A作AM垂直于l，垂足为M，则AM的长即为所求，再令y=-1，代入椭圆方程，求得x，即可得到所求P的坐标．

解答： 解：椭圆的左、右焦点分别为F₁（-2，0），F（2，0），
可得，a=4，c=2，b=2

3

，
则离心率e=

c

a

=

1

2

．右准线l的方程为x=8，
由椭圆的第二定义，可得，e=

|PF|

d

（d为P到右准线的距离），
则有|PF|=ed=

1

2

d，
则|PA|+2|PF|=|PA|+d，
过A作AM垂直于l，垂足为M，
即有|PA|+d≥|AM|=8-1=7．
即有最小值为7，
令y=-1，则

x2

16

+

1

12

=1，解得，x=±

2 33

3

，
则取P（

2 33

3

，-1）．

点评：本题考查椭圆的定义和性质，考查离心率的运用，以及椭圆的定义的运用：到焦点的距离转化为到准线的距离，考查运算能力，属于中档题．