Question

已知两点M₁（0，0），M₂（1，0）．以M₁为圆心，M₁M₂为半径作圆交x轴于点M₃（异于M₂），记作⊙M₁；以M₂为圆心，M₂M₃为半径作圆交x轴于点M₄（异于M₃），记作⊙M₂；…；以M_n为圆心，M_nM_n+1为半径作圆交x轴于点M_n+2（异于M_n+1），记作⊙M_n．当n∈N^*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列论断：
当n=1时，A₁B₁=2；当n=2时，A₂B₂=

15

；当n=3时，A₃B₃=

35×42+23-1

3

；当n=4时，A₄B₄=

 

．
由以上论断推测一个一般的结论：对于n∈N^*，A_nB_n=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：由已知中当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M_n交于A_n，B_n的相关论断：当n=1时，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；当n=2时，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；当n=3时，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；当n=4时，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

；…分析表达式中4的指数，第二项的系数，及2的指数的变化趋势，即可得到答案．

解答： 解：由已知中，
当n=1时，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；
当n=2时，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；
当n=3时，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；
当n=4时，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

=

247

；
…
∴对于n∈N^*，|A_nB_n|=

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

，
故答案为：

247

；

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．