Question

19．已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求y₁y₂的值；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：y₁•y₂=-1；
（2）由（1）可知：${y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}$=x₁x₂，则k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-1，因此OA⊥OB．

解答 解：（1）由题意可知：将直线y=k（x+1）代入抛物线方程，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消去x后整理得ky²+y-k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理，得y₁•y₂=-1，
（2）由（1）可知：A，B在抛物线y²=-x上，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=-{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=-{x}_{2}}\end{array}\right.$则${y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}$=x₁x₂，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-1，
即有无论k为何值都有，OA⊥OB．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线垂直的重要条件，考查计算能力，属于中档题．