Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤a}\\{{x}^{2}+2x，x＞a}\end{array}\right.$，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）十b有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 如图所示，令h（x）=x³-x²-2x=x（x-2）（x+1）=0，解得x=0，-1，2．可得：①a=-1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-1}\\{{x}^{2}+2x，x＞-1}\end{array}\right.$，进而判断出此时函数f（x）至多有一个零点，故可排除C．②a=-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，x＞-2}\end{array}\right.$，同理可排除A，D．进而得出答案．

解答 解：如图所示，
令h（x）=x³-x²-2x=x（x-2）（x+1）=0，解得x=0，-1，2．
可得：①a=-1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-1}\\{{x}^{2}+2x，x＞-1}\end{array}\right.$，
此时x³≤-1，x²+2x＞-1，可得：x³+1≤0，x²+2x+1＞0，
此时函数f（x）至多有一个零点．
因此，不存在实数b，使函数g（x）=f（x）十b有两个零点，可排除C．
②a=-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤-2}\\{{x}^{2}+2x，x＞-2}\end{array}\right.$，
此时x³≤-8，x²+2x≥-1．可得：x³+1≤-7，x²+2x+1≥0，
此时函数f（x）至多有一个零点．
因此，不存在实数b，使函数g（x）=f（x）十b有两个零点，因此可排除A，D．
综上可得：可排除A，C，D．
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点、函数的图象与性质，考查了分类讨论方法、数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．