Question

7．若数列A_n：a₁、a₂、…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=d＞0（k=1，2，…，n-1），则称A_n为F数列：
（1）写出所有满足a₁=a₅=0的两个F数列A₅；
（2）若a₁=d=1，n=2016，证明：F数列是递增数列的充要条件是a_n=2016；
（3）记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n，对任意给定的正整数n（n≥2），且d∈N^*，是否存在a₁=0的F数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，求出正整数n满足的条件，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根据|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0，可以得出符合题设的E数列A₅；
（2）可先证明必要性：由递增数列的定义，得到A_n是首项为1，公差为-的等差数列．即可求得a₂₀₁₆=1+（2016-1）×1=2016；再证充分性：由新定义推出a₂₀₁₆≥a₁₊2015，又因为a₁=1，a₂₀₁₆=2016，所以a₂₀₁₆=a₁+2015．得证；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，然后不适一般性验证即可．

解答 解：（1）∵数列E数列A_n满足|a_k+1-a_k|=d＞0，
∴满足a₁=a₅=0的所有E数列A₅四个：①0，d，0，d，0；
②0，-d，0，-d，0；③0，-d，0，d，0；④0，d，0，-d，0．
任意写出两个即可，答案不唯一；
（2）证明：必要性：因为F数列A₂₀₁₆是递增数列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，2015）．            
所以A_n是首项为1，公差为1的等差数列．
所以a₂₀₁₆=1+（2016-1）×）=2016．
充分性：由于a₂₀₁₆-a₂₀₁₅≥1，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄≥1
…
a₂-a₁≥1                              
所以a₂₀₁₆-a₁≥2015，即a₂₀₁₆≥a₁+2015，
又因为a₁=1，a₂₀₁₆=2016，
所以a₂₀₁₆=a₁+2015．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，2015）即A_n是递增数列．
综上，结论得证；
（3）由a₁=0，|a_k+1-a_k|=d＞0，可得a₂=d或-d，
a₁=0，a₂=d，a₃=0，a₄=-d，S（A_n）=0；
a₁=0，a₂=d，a₃=2d，a₄=-d，a₅=0，a₆=-d，a₃=-2d，a₄=-d，S（A_n）=0
不适一般性，可得n=4k，k∈N^*，S（A_n）=0．

点评 本题考查数列新定义及理解，考查数列的运用，充分必要条件的证明，解题的关键在于对新定义的正确运用，属于中档题．