Question

17．若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，则称f（x）在[a，b]上具有“反衬性”．下列函数①f（x）=-x+$\frac{5}{2}$ ②f（x）=-x²+4x  ③f（x）=sin$\frac{π}{2}$x ④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x-1|+1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-1）．x＞2}\end{array}\right.$，具有“反衬性”的为|（　　）

• A． ②③
• B． ①③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根据条件得到若函数在区间[a，b]上具有“反衬性”，则等价为在区间[a，b]上，函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$有两个交点，且函数在区间上单调递减即可，作出对应的图象，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，则等价为函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$有两个交点，且函数在区间上单调递减即可．
①若f（x）=-x+$\frac{5}{2}$，作出函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$的图象，由图象知两个函数有两个交点，则f（x）具有“反衬性”，

②若f（x）=-x²+4x，作出函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$的图象，由图象知两个函数有两个交点，但函数在交点对应的区间上不具单调性，则f（x）不具有“反衬性”，


  ③f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，作出函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上单调递减，则f（x）具有“反衬性”，


④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x-1|+1，x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-1）．x＞2}\end{array}\right.$，
当2＜x＜3时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-1）=$\frac{1}{2}$[-|x-2|+1]=-$\frac{1}{2}$|x-2|+$\frac{1}{2}$，
当3＜x＜4时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-1）=$\frac{1}{2}$[-$\frac{1}{2}$|x-3|+$\frac{1}{2}$]=-$\frac{1}{4}$|x-2|+$\frac{1}{4}$，


作出函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上不单调递减，则f（x）不具有“反衬性”，
综上具有“反衬性”的函数是①③，
故选：B

点评 本题主要考查与函数有关的新定义题目，正确理解条件结合数形结合，转化为函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$有两个交点，且函数在区间上单调递减是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．