Question

已知函数f（x）=

10-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常数且a＞0）．给出下列命题：
①函数f（x）的最小值是-1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③函数f（x）在（-∞，0）上的零点是x=lg

1

2

；
④若f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）；
⑤对任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：画出函数f（x）=

10-x-2，x≤0 2ax-1，x＞0

（a是常数且a＞0）的图象，
①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；
②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
③函数f（x）在（-∞，0）的零点是lg

1

2

；
④只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，
从而求得a的取值范围是a＞1；
⑤已知函数f（x）的图象在（-∞，0））上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方．

解答： 解：对于①，由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；故正确；
对于②，由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
对于③，函数f（x）在（-∞，0）的零点是lg

1

2

，故正确；
对于④，只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故错；
对于⑤，已知函数f（x）在（-∞，0）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正确．
故答案为：①③⑤．

点评：利用函数的图象研究函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．