Question

11．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在R上的奇函数，f（0）=0求参数；（2）不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，转化为k＜（3t²-2t）min求解．

解答 解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，
所以f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，所以b=1，
因为f（x）=$\frac{-2x+1}{2x+1+a}$，
所以f（-x）=$\frac{-2-x+1}{2-x+1+a}$=$\frac{2x-1}{2+a•2x}$．
因为f（-x）=-f（x），
所以$\frac{2x-1}{2+a•2x}$=$\frac{2x-1}{2x+1+a}$，
所以（2-a）（1-2^x）=0，
所以a=2，
所以f（x）=$\frac{-2x+1}{2x+1+2}$．
（2）因为f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k）恒成立，
因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立，
因为函数f（x）在R上单调递减，
所以t²-2t＞-2t²+k恒成立，所以k＜3t²-2t恒成立，
又因为g（t）=3t²-2t在R上最小值为$\frac{-4}{4×3}=-\frac{1}{3}$
k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了奇函数的性质，不等式恒成立问题的转化，属于中档题．