Question

1．光明超市某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（单位：元）与时间t（单位：天，其中）组成有序实数对（t，P），点（t，P）落在如图所示的线段上．该商品日销售量Q（单位：件）与时间t（单位：天，其中t∈N）满足一次函数关系，Q与t的部分数据如表所示．

第t天	10	17	21	30
Q（件）	180	152	136	100

（1）根据图象写出销售价格与时间t的函数关系式P=f（t）．
（2）请根据表中数据写出日销售量Q与时间t的函数关系式Q=g（t）．
（3）设日销售额为M（单位：元），请求出这30天中第几日M最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）设f（t）=kt+b，由图象过点（0，14），（30，29），解得k，b的值，可得销售价格与时间t的函数关系式P=f（t）．
（2）由t，Q满足一次函数关系可设g（t）=at+m，由表格值代入求得t，m的值，可得日销售量Q与时间t的函数关系式Q=g（t）．
（3）由（1）（2）可得日销售额为M的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得最大值．

解答 （本题满分15分）
解：（1）设f（t）=kt+b，由图象过点（0，14），（30，29）得：
$\left\{\begin{array}{l}b=14\\ 30k+b=29\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=14\\ k=\frac{1}{2}\end{array}\right.$-----------------（2分）
∴$P=f（t）=\frac{1}{2}t+14（1≤t≤30，t∈N）$---------------（1分）
评分建议：若定义域没有写，或定义域写错，或t∈N没有写，扣（1分）
（2）由t，Q满足一次函数关系可设g（t）=at+m
由表格可得：$\left\{\begin{array}{l}10t+m=180\\ 30t+m=100\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}t=-4\\ m=220\end{array}\right.$-------------（2分）
∴Q=g（t）=-4t+220（1≤t≤30，t∈N）-------------------（1分）
评分建议：若定义域没有写，或定义域写错，或t∈N没有写，扣（1分）
（3）$M=P•Q=（\frac{1}{2}t+14）（-4t+220）$
$\begin{array}{l}=-2{t^2}+54t+3080\\=-2（{t^2}-27t-1540）\end{array}$------------------------（2分）
$\begin{array}{l}=-2{（t-\frac{27}{2}）^2}+\frac{6889}{2}\\=-2{（t-13.5）^2}+3444.5\end{array}$
∵t∈N
∴当t=13或t=14时，M有最大值，------------------------（4分）
且最大值为3444元．------------------（2分）
答：这30天中第13日或第14日M最大，最大值为3444元．-------------（1分）
评分建议：（1）M只写到“$M=P•Q=（\frac{1}{2}t+14）（-4t+220）$”这一步，也得（2分）．
（2）若“t=13或t=14”两个中少写一个，扣（2分）

点评 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，二次函数的图象和性质，难度中档．