Question

1．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）=-1．
（Ⅰ）求f（1）的值域；
（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）求满足f（3x-1）＞2的x的取值集合．

Answer 1

分析 （I）令a=b=1即可得出关于f（1）的方程，求出f（1）；
（II）设0＜x₁＜x₂，则由函数性质①可得出f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），由函数性质②得出f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，故而有f（x₂）＜f（x₁）；
（III）根据函数性质可得f（$\frac{1}{4}$）=2，利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出x．

解答 解：（Ⅰ）令a=b=1得f（1）+f（1）=f（1），∴f（1）=0．
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数
（Ⅲ）∵f（2）=-1，∴f（4）=2f（2）=-2，
又f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）=0，
∴f（$\frac{1}{4}$）=-f（4）=2，
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-1＜\frac{1}{4}}\\{3x-1＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{5}{12}$．
故不等式的解集为{x|$\frac{1}{3}＜x＜\frac{5}{12}$}．

点评 本题考查了抽象函数的性质，单调性的判断与应用，属于中档题．