Question

函数y=sinθcos²θ在0＜θ＜

π

2

范围内的最大值是（　　）

• A、

  2 3

  9

• B、

  3

  9

• C、

  2

  9

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：要求表达式的最大值需要平方后，利用均值不等式求解即可．

解答： 解：函数y=sinθcos²θ在0＜θ＜

π

2

范围内的最大值，
就是求解y²=[sinθcos²θ]²在0＜θ＜

π

2

范围内的最大值再开方，
∴2y²=2sin²θcos²θcos²θ≤(

2sin2θ+cos2θ+cos2θ

3

)3=

8

27

，
此时2sin²θ=cos²θ，即tan²θ=

1

2

，满足0＜θ＜

π

2

，
2y²≤

8

27

，
∴y≤

2 3

9

．
故选：A．

点评：本题考查三角函数的最值的求法，均值不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．