Question

已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x）．若g（x）=xf（x），则满足g（1）＞g（1-2x）的实数x的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、（-∞，0）∪（1，+∞）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：导数的运算,函数奇偶性的性质

专题：导数的综合应用

分析：利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）=xf（x）是定义在R的偶函数．当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x），可得xf′（x）+f（x）＜0．进而得到g′（x）＜0，由于函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增．变形g（1）＞g（1-2x）=g（|1-2x|），利用单调性即可得出．

解答： 解：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）=xf（x）是定义在R的偶函数．
∵当x∈（0，+∞）时，恒有xf′（x）＜f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0．
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增．
∵g（1）＞g（1-2x）=g（|1-2x|），
∴1＜|1-2x|，
∴2x-1＞1或2x-1＜-1，
解得x＞1或x＜0．
∴满足g（1）＞g（1-2x）的实数x的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选：B．

点评：本题考查了导数的应用、函数的奇偶性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．