Question

4．已知数列{a_n}是各项均不为0的正项数列，S_n为前n项和，且满足2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，若不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值为（　　）

• A． -21
• B． -15
• C． -9
• D． -2

Answer 1

分析 2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，可得4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1），a_n＞0，化为a_n-a_n-1=2，n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．利用等差数列的通项公式与求和公式可得：a_n，S_n．不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，化为：λ≤$\frac{4n+2+8（-1）^{n}}{n}$=f（n），对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，∴4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
n=1时，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ对任意的n∈N^*恒成立，
化为：λ≤$\frac{4n+2+8（-1）^{n}}{n}$=f（n），
则f（2k-1）=$\frac{4n-6}{n}$=4-$\frac{6}{n}$≥-2．
f（2k）=$\frac{4n+10}{n}$=4+$\frac{10}{n}$∈（4，9]．
∴实数λ的最大值为-2．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的通项公式与求和公式、等价转化方法、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．