Question

如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．

Answer 1

解：

(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.

又因为DE⊄平面BCP，

所以DE∥平面BCP.

(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，

所以四边形DEFG为平行四边形．

又因为PC⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四边形DEFG为矩形．

(3)存在点Q满足条件，理由如下：

连接DF，EG，设Q为EG的中点．

由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.

与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，

且QM＝QN＝EG，

所以Q为满足条件的点．