Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图所示，S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，可得|AF₂|=2|F₂C|．A$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，直线AF₂的方程为：y=$\frac{-{b}^{2}}{2ac}$（x-c），代入椭圆方程可得：（4c²+b²）x²-2cb²x+b²c²-4a²c²=0，利用x_C×（-c）=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{4{c}^{2}+{b}^{2}}$，解得x_C．根据$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，即可得出．

解答 解：如图所示，
∵S_△ABC=3S${\;}_{△BC{F}_{2}}$，
∴|AF₂|=2|F₂C|．
A$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，直线AF₂的方程为：y-0=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{-c-c}$（x-c），
化为：y=$\frac{-{b}^{2}}{2ac}$（x-c），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得：（4c²+b²）x²-2cb²x+b²c²-4a²c²=0，
∴x_C×（-c）=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-4{a}^{2}{c}^{2}}{4{c}^{2}+{b}^{2}}$，解得x_C=$\frac{4{a}^{2}c-{b}^{2}c}{4{c}^{2}+{b}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
∴c-（-c）=2（$\frac{4{a}^{2}c-{b}^{2}c}{4{c}^{2}+{b}^{2}}$-c）．
化为：a²=5c²，
解得$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．