Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

5π

12

，

π

6

]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函数解析式，根据x的范围利用正弦函数的单调性求得函数的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）∵x∈[-

5π

12

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

1

2

]，
∴2sin（2x-

π

6

）∈[-2，1]，
∴函数f（x）的最大值为1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的综合运用．