题目内容
以下四个命题：
①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=
；
②设
，
是两个非零向量且|
•
|=|
||
|，则存在实数λ，使得
=λ
；
③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
④函数f(x)=
的最大值为M，最小值为m，则M+m=4；
其中正确的命题是 ．
①在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则B=
| π |
| 4 |
②设
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
③方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
④函数f(x)=
| |x|-sinx+1 |
| |x|+1 |
其中正确的命题是
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①在△ABC中，由bsinA=acosB，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB，进而得到tanB=1，即可得出．
②设
，
是两个非零向量且|
•
|=|
||
|，利用数量积可得cos＜
，
＞=±1，再利用向量共线定理可得存在实数λ，使得
=λ
；
③令f（x）=x-sinx，利用导数可得f′（x）=1-cosx≥0，得到函数f（x）在R上单调递增，再利用函数零点的意义即可得出；
④变形成如下：f（x）=1-
，令g（x）=
，可知g（x）为奇函数，利用奇函数的性质即可得出．
②设
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
③令f（x）=x-sinx，利用导数可得f′（x）=1-cosx≥0，得到函数f（x）在R上单调递增，再利用函数零点的意义即可得出；
④变形成如下：f（x）=1-
| sinx |
| |x|+1 |
| sinx |
| |x|+1 |
解答：
解：①在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∴tanB=1．
∴B=
，正确；
②设
，
是两个非零向量且|
•
|=|
||
|，∴cos＜
，
＞=±1，则存在实数λ，使得
=λ
，正确；
③令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，而sin0-0=0，即f（0）=0．
∴方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个0，正确；
④函数f(x)=
=1-
．
令g（x）=
，可知g（x）为奇函数，
因此g（x）最大最小值互为相反数，
故M+m=1+g（x）max+1+g（x）min=2．
因此④不正确．
综上可知：正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．
∴B=
| π |
| 4 |
②设
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
③令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，而sin0-0=0，即f（0）=0．
∴方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个0，正确；
④函数f(x)=
| |x|-sinx+1 |
| |x|+1 |
| sinx |
| |x|+1 |
令g（x）=
| sinx |
| |x|+1 |
因此g（x）最大最小值互为相反数，
故M+m=1+g（x）max+1+g（x）min=2．
因此④不正确．
综上可知：正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．
点评：本题综合考查了正弦定理、数量积的意义、向量共线定理、函数零点定理、奇函数的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和解决实际问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知全集为R，集合A={x|（
）x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则A∪∁RB=（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、（-∞，0] |
| B、[2，4] |
| C、[0，2）∪（4，+∞） |
| D、（0，2]∪[4，+∞） |
下列命题正确的是（ ）
| A、直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行 |
| B、如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 |
| C、垂直于同一直线的两个平面平行 |
| D、直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直 |