Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是增函数，g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）且对任意x0≥-

1

2

，g（x）都不是奇函数，则M=

3a+2b+c

2b-3a

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的单调性和导数之间的关系建立a，b，c之间的关系，然后根据g（x）不是奇函数，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx是增函数，
∴f′（x）≥0，
即3ax²+2bx+c≥0 对任意x都成立；
故必须有a＞0，且△=b²-3ac≤0；
即c≥

b2

3a

；
g（x）=f（x+x₀）-f（x₀）=a（x+x₀）³+b（x+x₀）²+c（x+x₀）-f（x₀）；
g（-x）=f（-x+x₀）-f（x₀）=a（-x+x₀）³+b（-x+x₀）²+c（-x+x₀）-f（x₀）；
∵g（x）不是奇函数，
∴g（x）+g（-x）=6ax₀x²+2bx²≠0，
即（6ax₀+2b）x²≠0对x₀≥-

1

2

恒成立；
∵a＞0，
∴6a（-

1

2

）+2b＞0，
即2b-3a＞0，
∴

b

a

＞

3

2

；
M=

3a+2b+c

2b-3a

=

f′(1)

2b-3a

≥0；
M≥

3a+2b+ b2 3a

2b-3a

=

9+6 b a +( b a )2

6( b a )-9

，
设t=

b

a

＞

3

2

，
则不等式等价为M≥

9+6t+t2

6t-9

=

1

6

（t-

3

2

）+

3

2

+

27

8

•

1

t- 3 2

≥

3

2

+2

1 6 (t- 3 2 )• 27 8 • 1 t- 3 2

=

3

2

+

3

2

=3，
故最小值为3，
故答案为：3．

点评：本题主要考查基本不等式的应用以及函数单调性与导数之间的关系，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．