Question

8．如图，圆锥的高$PO=\sqrt{2}$，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．

解答 解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=$\frac{1}{2}$，
在Rt△POD中，OH=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选C．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力．