Question

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin²B=2sinAsinC．
（1）若△ABC为等腰三角形，求顶角C的余弦值；
（2）若△ABC是以B为直角顶点的三角形，且$|BC|=\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的条件列出方程，由条件求出三边的关系，由余弦定理求出cosC的值；
（2）由（1）和勾股定理可得a=c，由条件求出a、c的值，代入三角形的面积公式求出答案．

解答 解：（1）由sin²B=2sinAsinC及正弦定理得：b²=2ac，
又△ABC为等腰三角形，且顶角为C，
则a=b，即b=2c，a=2c，
由余弦定理可得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{7}{8}$；
（2）由（1）知，b²=2ac，
∵B=90°，∴a²+c²=b²，
∴a²+c²=2ac，即（a-c）²=0，则a=c，
由$|BC|=\sqrt{2}$得$c=a=\sqrt{2}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，属于基础题．