Question

设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

+x）满足f(-

π

3

)=f（0）．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）先化简f（x）根据已知求出a的值，从而得到f（x）的解析式，即可求出单调递减区间；
（2）根据已知，可求出角B的值，从而可确定A的取值范围，即可求f（A）的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（

π

2

+x）
=

a

2

sin2x-cos2x，
由f(-

π

3

)=f（0），解得a=2

3

故f（x）=

a

2

sin2x-cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
故单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z
（2）由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，可解得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=

1

2

，又0＜B＜π
∴B=

π

3

，又A+

π

3

＞

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
则f（A）=2sin（2A-

π

6

），

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴2×

1

2

＜f(A)＜1×2，即f（A）∈（1，2]．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的图象与性质，余弦定理的应用，属于基础题．