Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，且a_n-2a_n+1+a_n+2=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

4

anan+1

+2n-1an，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）已知数列{c_n}满足

1

cn

=3

an

2

，其前n项和C_n；试比较C_n与

1

2

的大小关系．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n-2a_n+1+a_n+2=0，推导出数列{a_n}是等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用分组求和，即可求数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）利用等比数列的求和公式求和，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵an-2an+1+an+2=0(n∈N*)
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项的等差数列，
又a₁+a₂+a₃=12知a₂=4，所以d=2
故a_n=2n…（3分）
（Ⅱ） bn=

4

anan+1

+2n-1an=(

1

n

-

1

n+1

)+n•2n
而

4

anan+1

=

4

4n•4(n+1)

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

4

a1a2

+

4

a2a3

+…+

4

anan+1

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

又令Sn=1•21+2•22+…+n•2n，
2Sn=          1•22+2•23+…+n•2n+1
∴-Sn=1•21+1•22+…+1•2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2+(1-n)2n+1
∴Sn=(n-1)2n+1+2
故   Tn=(n-1)2n+1+3-

1

n+1

…（10分）
（Ⅲ）∵a_n=2n，∴cn=(

1

3

)n
∴Cn=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

1

2

(1-(

1

3

)n)
故Cn＜

1

2

…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．