Question

9．（实验班题）已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜π．
（1）求sin（2α-$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求β的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用同角三角函数基本关系式，求解正弦函数值，求解二倍角的正弦函数，然后利用两角和与差的正弦函数求解所求的表达式的值．
（2）通过两角和与差的正弦函数，求解三角函数值，然后求解角的大小．

解答 （实验班题）
解（1）由cos α=$\frac{1}{7}$＞0，所以0＜α＜$\frac{π}{2}$，得
sin α=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．…（2分）
$sin2α=2sinαcosα=\frac{{8\sqrt{3}}}{49}$，
$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α=-\frac{47}{49}$…（4分）
$sin（2α-\frac{π}{6}）=sin2αcos\frac{π}{6}-cos2αsin\frac{π}{6}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{49}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-（-\frac{47}{49}）×\frac{1}{2}=\frac{71}{98}$…（6分）
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$．又∵cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$…（8分）
由β=α-（α-β），得cos β=cos[α-（α-β）]
=cos αcos（α-β）+sin αsin（α-β）
=$\frac{1}{7}$×$\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$．…（10分）
∴β=$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．