Question

已知函数f（x）=1+log₃x，x∈[

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，3]，求g（x）=[f（x）]²+2f（x）的最值以及取最值时x的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由题意，可令t=f（x），可得g（x）=t²+2t，t∈[-2，2]，利用二次函数的性质得出函数的最值及取到最值时的x的值．

解答： 解：由于f（x）=1+log₃x，x∈[

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，3]，所以f（x）∈[-2，2]
令t=f（x），可得g（x）=t²+2t，t∈[-2，2]，
此二次函数的对称轴为t=-1，可得函数在[-2，-1]减，在[-1，2]上增，
所以当t=-1，即1+log₃x=-1，x=

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时，g（x）取到最小值，为-1；
当t=2，即1+log₃x=2，x=3时，g（x）取到最大值，为8；
综上，当x=

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时，g（x）取到最小值，为-1；x=3时，g（x）取到最大值，为8．

点评：复合函数的最值，常采用换元法求，这使得单调性易于判断，大大降低解题难度．