Question

已知函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且当x₂＞x₁≥1时，总有[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0恒成立，则f（2^x）与f（3^x）的大小关系为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可判断f（x）在[1，+∞）上是增函数；再由幂函数的单调性可判断2^x，3^x的大小关系，再由函数的对称性化简即可．

解答： 解：∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，
又∵[f（x₂）-f（x₁）]÷（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
若x=0，则2^x=3^x=1；f（2^x）=f（3^x）；
若x＞0，则1＜2^x＜3^x，
则 f（2^x）＜f（3^x）；
若x＜0，则0＜3^x＜2^x＜1；
则2-3^x＞2-2^x＞1；
故f（2-3^x）＞f（2-2^x）；
而f（1+x）=f（1-x），
故f（2-3^x）=f（3^x），f（2-2^x）=f（2^x）；
故f（2^x）＜f（3^x）；
综上所述，f（2^x）≤f（3^x）；
故答案为：f（2^x）≤f（3^x）．

点评：本题考查了抽象函数的性质的判断与应用，属于中档题．