Question

对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得对任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：
①f（x）=

1

x

；
②f（x）=sinx；
③f（x）=

x2-1

；
④f（x）=

lnx

x

其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有

 

（写出所有正确的序号）．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．

解答： 解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，
满足0≤f（x）≤1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；
函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[-1，1]，
满足-1≤f（x）≤1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；
函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，
其渐近线为y=x，满足x-1≤f（x）≤x，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；
函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，

1

e

]，
满足0≤f（x）≤

1

e

＜1，
∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．
故满足题意的有①③④．
故答案为①③④．

点评：本题考查函数性质以及函数图象的灵活应用，属于中档题．