Question

给定正整数n和正数b，对于满足条件a₁-a²_n+1=b的所有无穷等差数列{a_n}，当a_n+1=

 

时，y=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+1取得最大值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件a₁-a²_n+1=b，表示出首项，利用等差数列的前n项和公式，结合二次函数的单调性的性质即可得到结论．

解答： 解：设公差为d，则a_n+1=a₁+nd，nd=a_n+1-a₁，
则y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1是以a_n+1为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
则y=a_n+1+a_n+2+…a_2n+1=（n+1）a_n+1+

n(n+1)

2

d=（n+1）（a_n+1+

nd

2

）=（n+1）[a_n+1+

1

2

（a_n+1-a₁）]=

n+1

2

（3a_n+1-a₁），
∵a₁-a²_n+1=b，
∴a₁=a²_n+1+b，
∴3a_n+1-a₁=3a_n+1-（a²_n+1+b）=-（a_n+1-

3

2

）²+

9-4b

4

≤

9-4b

4

，
当且仅当a_n+1=

3

2

时取等号，
即y=

n+1

2

（3a_n+1-a₁）≤

n+1

2

•

9-4b

4

=

(n+1)(9-4b)

8

，
故答案为：

3

2

点评：本题主要考查等差数列的性质和前n项和的计算，利用条件转化为二次函数形式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．