Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A，B两点，如果△ABF₁恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为（　　）

• A． ±1
• B． ±2
• C． $±\sqrt{2}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 假设△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得|AF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，则直线AB的斜率为k=±tan∠AF₂F₁=±$\sqrt{2}$．

解答 解：可设|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由椭圆的定义可得△ABF₁的周长为4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
∴|AF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，
则|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在Rt△AF₁F₂中，
tan∠AF₂F₁=$\frac{丨A{F}_{1}丨}{丨A{F}_{2}丨}$=$\sqrt{2}$，
∴直线AB的斜率为k=±tan∠AF₂F₁=±$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．