Question

10．某班级数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
脚长y（码）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39

序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
脚长y（码）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y关于x的线性回归方程
（Ⅱ）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”，“脚长小于等于42码”的为“非大码”．请根据上表数据完成2×2列联表：并根据列联表中数据说明能有多大的可靠性认为脚的大小与身高之间有关系？
（Ⅲ）若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号，求：抽到“无效序号（超过20号）”的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （I）分别求出$\overline{x}$，$\overline{y}$的值，求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$的值，代入回归方程即可；
（II） 根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表；
（III）先计算出投掷两次出现情况的总数，再分计算抽到“无效序号（超过20号）”的情况数结合概率的计算公式即可求得抽到“无效序号（超过20号）”的概率．

解答 解：（Ⅰ）“序号为5的倍数”的几组数据：
x₁=176，x₂=166，x₃=168，x₄=170，
y₁=44，y₂=39，y₃=40，y₄=41，
则$\overline x=170，\overline y=41$，所以$b=\frac{1}{2}，a=-44$，
从而y关于x的线性回归方程是$\hat y=\frac{1}{2}x-44$．  …（6分）
（Ⅱ）2×2列联表：

	高 个	非高个	合计
大脚	5	2	7
非大脚	1	12	13
合计	6	14	20

${k^2}=\frac{{20×{{（5×12-1×2）}^2}}}{6×14×7×13}≈8.802＞7.879$，
有99.5%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系．…（10分）
（Ⅲ）$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$．   …（12分）

点评 本题考查独立性检验，包括数据的统计，是一个中档题，本题在个别省份作为高考题目出现过，要引起同学们注意．