Question

不等式|x-1|+|2x-1|＞a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：通过对x范围的分类讨论，可求得f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

的最小值，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

，
∴当x＜

1

2

时，f（x）=2-3x为（-∞，

1

2

）上的减函数，故f（x）＞f（

1

2

）=

1

2

；
当

1

2

≤x≤1时，f（x）=x，

1

2

≤f（x）≤1；
当x＞1时，f（x）=3x-2为（1，+∞）上的增函数，故f（x）＞1；
综上所述，f（x）_min=

1

2

，
∵不等式|x-1|+|2x-1|＞a恒成立，
∴a＜f（x）_min=

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，

1

2

）．
故答案为：（-∞，

1

2

）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得f（x）=|x-1|+|2x-1|=

2-3x，x＜ 1 2 x， 1 2 ≤x≤1 3x-2，x＞1

的最小值是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．